I.
PENDAHULUAN
Teori Bahasa
Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk
kepentingan perancangan kompilator (compiler)
dan pemroses naskah (text processor).
Bahasa formal adalah kumpulan kalimat.
Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal
bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda. Dikatakan bahasa
formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya.
Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan
kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa
formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.
Automata
Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa
tertentu.
Beberapa Pengertian Dasar
·
Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau
sebuah angka adalah contoh simbol.
·
String adalah deretan terbatas (finite)
simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a,
b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb
adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
·
Jika w adalah sebuah string
maka panjang string dinyatakan sebagai ïwï dan didefinisikan sebagai
cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb
maka ïwï= 4.
·
String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa
dinyatakan dengan simbol e (atau ^) sehingga ïeï= 0. String hampa dapat dipandang sebagai
simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
·
Alfabet adalah hinpunan hingga (finite
set) simbol-simbol
Operasi Dasar String
Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123
·
Prefik string w adalah string
yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan nol atau lebih
simbol-simbol paling belakang dari string w
tersebut.
Contoh : abc, ab,
a, dan e adalah semua Prefix(x)
·
ProperPrefix string w adalah
string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan satu atau lebih
simbol-simbol paling belakang dari string w
tersebut.
Contoh : ab, a,
dan e adalah semua ProperPrefix(x)
·
Postfix (atau Sufix) string w
adalah string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan nol atau lebih
simbol-simbol paling depan dari string w
tersebut.
Contoh : abc, bc,
c, dan e adalah semua Postfix(x)
·
ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau
lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc, c,
dan e adalah semua ProperPostfix(x)
·
Head string w adalah simbol
paling depan dari string w.
Contoh : a
adalah Head(x)
·
Tail string w adalah string
yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x)
·
Substring string w adalah
string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan nol atau lebih
simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab,
bc, a, b, c, dan e adalah semua Substring(x)
·
ProperSubstring string w
adalah string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan satu atau lebih
simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc,
a, b, c, dan e adalah semua Substring(x)
·
Subsequence string w adalah
string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan nol atau lebih
simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc,
ab, bc, ac, a, b,
c, dan e adalah semua Subsequence(x)
·
ProperSubsequence string w
adalah string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan satu atau lebih
simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc,
ac, a, b, c, dan e adalah semua Subsequence(x)
·
Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator
concatenation adalah concate atau
tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy = abc123
·
Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator
alternation adalah alternate atau ½.
Contoh : alternate(xy) = x½y =
abc atau 123
·
Kleene Closure : x* = e½x½xx½xxx½… = e½x½x
½x
½…
·
Positive Closure : x
= x½xx½xxx½… = x½x½x½…
Beberapa Sifat Operasi
·
Tidak selalu berlaku : x =
Prefix(x)Postfix(x)
·
Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
·
Tidak selalu berlaku : Prefix(x)
= Postfix(x) atau Prefix(x) ¹ Postfix(x)
·
Selalu berlaku : ProperPrefix(x)
¹ ProperPostfix(x)
·
Selalu berlaku : Head(x) ¹ Tail(x)
·
Setiap Prefix(x),
ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
·
Setiap Substring(x) adalah
Subsequence(x), tetapi tidak
sebaliknya
·
Dua sifat aljabar concatenation :
¨
Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
¨
Elemen identitas operasi concatenation adalah e : ex =
xe = x
·
Tiga sifat aljabar alternation :
¨
Operasi alternation bersifat komutatif : x½y =
y½x
¨
Operasi alternation bersifat asosiatif : x½(y½z)
= (x½y)½z
¨
Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x½x =
x
·
Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y½z) = xy½xz
·
Beberapa kesamaan :
¨
Kesamaan ke-1 : (x*)* = (x*)
¨
Kesamaan ke-2 : e½x = x½e = x*
¨
Kesamaan ke-3 : (x½y)* = e½x½y½xx½yy½xy½yx½… = semua string yang
merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.
II.
GRAMMAR DAN BAHASA
Konsep Dasar
1. Dalam pembicaraan grammar,
anggota alfabet dinamakan simbol terminal atau token.
2. Kalimat adalah deretan
hingga simbol-simbol terminal.
3. Bahasa adalah himpunan
kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.
4. Simbol-simbol berikut adalah
simbol terminal :
·
huruf kecil awal alfabet, misalnya : a, b, c
·
simbol operator, misalnya : +, -, dan ´
·
simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;
·
string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.
5. Simbol-simbol berikut adalah
simbol non terminal :
·
huruf besar awal alfabet, misalnya : A, B, C
·
huruf S sebagai simbol awal
·
string yang tercetak miring, misalnya : expr dan stmt.
6. Huruf besar akhir alfabet
melambangkan simbol terminal atau non terminal, misalnya : X, Y, Z.
7. Huruf kecil akhir alfabet
melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal, misalnya : x, y,
z.
8. Huruf yunani melambangkan
string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non
terminal atau campuran keduanya, misalnya : a, b, dan g.
9. Sebuah produksi dilambangkan
sebagai a ® b, artinya : dalam sebuah
derivasi dapat dilakukan penggantian simbol a dengan simbol b.
10. Simbol a dalam produksi berbentuk a ® b disebut ruas kiri produksi sedangkan simbol b disebut ruas kanan produksi.
11. Derivasi adalah proses
pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan
sebagai : a Þ b.
12. Sentensial adalah string
yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau
campuran keduanya.
13. Kalimat adalah string yang
tersusun atas simbol-simbol terminal. Jelaslah bahwa kalimat adalah kasus
khusus dari sentensial.
14. Pengertian terminal berasal
dari kata terminate (berakhir),
maksudnya derivasi berakhir jika sentensial yang dihasilkan adalah sebuah
kalimat (yang tersusun atas simbol-simbol terminal itu).
15. Pengertian non terminal
berasal dari kata not terminate (belum/tidak berakhir),
maksudnya derivasi belum/tidak berakhir jika sentensial yang dihasilkan
mengandung simbol non terminal.
Grammar dan Klasifikasi Chomsky
Grammar G didefinisikan
sebagai pasangan 4 tuple : V
, V
, S, dan Q, dan dituliskan sebagai G(V, V, S, Q), dimana :
V : himpunan simbol-simbol
terminal (atau himpunan
token -token, atau alfabet)
V : himpunan
simbol-simbol non terminal
S Î V : simbol awal (atau
simbol start)
Q : himpunan produksi
Berdasarkan komposisi bentuk
ruas kiri dan ruas kanan produksinya (a ® b), Noam Chomsky
mengklasifikasikan 4 tipe grammar :
1. Grammar tipe ke-0 :
Unrestricted Grammar (UG)
Ciri : a, b Î (V½V)*, ïaï> 0
2. Grammar tipe ke-1 : Context
Sensitive Grammar (CSG)
Ciri : a, b Î (V½V)*, 0 < ïaï £ ïbï
3. Grammar tipe ke-2 : Context
Free Grammar (CFG)
4. Grammar tipe ke-3 : Regular
Grammar (RG)
Ciri : a Î V, b Î {V, VV} atau a Î V, b Î {V, VV}
Mengingat ketentuan simbol-simbol (hal. 3 no. 4 dan 5), ciri-ciri RG sering
dituliskan sebagai : a Î V, b
Î
{a, bC} atau a
Î
V, b
Î
{a, Bc}
Tipe
sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :
A language is said to be type-i (i =
0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be
specified any type-(i+1) grammar.
Contoh Analisa Penentuan Type Grammar
1. Grammar G
dengan Q = {S ® aB, B ® bB, B ® b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari
sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG
atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string VV maka G adalah RG.
2. Grammar G
dengan Q = {S ® Ba, B ® Bb, B ® b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari
sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG
atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string VV maka G adalah RG.
3. Grammar G
dengan Q = {S ® Ba, B ® bB, B ® b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari
sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG
atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string VV (yaitu bB) dan juga
string VV (Ba) maka G bukan RG, dengan kata
lain G adalah CFG.
4. Grammar G
dengan Q = {S ® aAb, B ® aB}. Ruas kiri semua
produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG
atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya
lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G bukan RG, dengan kata
lain G adalah CFG.
5. Grammar G
dengan Q = {S ® aA, S ® aB, aAb ® aBCb}. Ruas kirinya mengandung string yang
panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G kemungkinan tipe CSG
atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan
ruas kananya maka G adalah CSG.
6. Grammar G
dengan Q = {aS ® ab, SAc ® bc}. Ruas kirinya
mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G kemungkinan tipe CSG
atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada
ruas kananya (yaitu SAc) maka G adalah UG.
Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa
Tentukan
bahasa dari masing-masing gramar berikut :
1. G dengan Q = {1. S ® aAa,
2. A ® aAa, 3. A ® b}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S Þ aAa (1) S Þ aAa (1)
Þ aba (3) Þ aaAaa (2)
¼
Þ a
Aa (2)
Þ aba (3)
Dari pola kedua kalimat
disimpulkan : L(G) = { aba½ n ³ 1}
2. G dengan Q = {1. S ® aS,
2. S ® aB, 3. B ® bC, 4. C ® aC, 5. C ® a}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S Þ aB (2) S Þ aS (1)
Þ abC (3) ¼
Þ aba (5) Þ a
S (1)
Þ aB (2)
Þ abC (3)
Þ abaC (4)
¼
Þ aba
C (4)
Þ aba
(5)
Dari pola kedua kalimat
disimpulkan : L (G) = { aba½ n ³ 1, m ³ 1}
3. G dengan Q = {1. S ® aSBC,
2. S ® abC, 3. bB ® bb,
4. bC ® bc, 5. CB ® BC, 6. cC ® cc}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek
1: Derivasi kalimat
terpendek 3 :
S Þ abC (2) S Þ aSBC (1)
Þ abc (4) Þ aaSBCBC (1)
Derivasi kalimat terpendek 2
: Þ aaabCBCBC (2)
S Þ aSBC (1) Þ aaabBCCBC (5)
Þ aabCBC (2) Þ aaabBCBCC (5)
Þ aabBCC (5) Þ aaabBBCCC (5)
Þ aabbCC (3) Þ aaabbBCCC (3)
Þ aabbcC (4) Þ aaabbbCCC (3)
Þ aabbcc (6) Þ aaabbbcCC (4)
Þ aaabbbccC (6)
Þ aaabbbccc (6)
Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L (G) = { abc½ n ³ 1}
Menentukan Grammar Sebuah Bahasa
1. Tentukan sebuah gramar
regular untuk bahasa L = { a½ n ³ 1}
Jawab :
Q(L) = {S ® aS½a}
2. Tentukan sebuah gramar bebas
konteks untuk bahasa :
L : himpunan bilangan
bulat non negatif ganjil
Jawab :
Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.
Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G)
dan ganjil (J)
Q(L) = {S ® J½GS½JS, G ® 0½2½4½6½8, J ® 1½3½5½7½9}
3. Tentukan sebuah gramar bebas
konteks untuk bahasa :
L = himpunan semua
identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri
dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8
karakter
Jawab :
Langkah kunci : karakter pertama identifier harus
huruf.
Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : huruf (H)
dan angka (A)
Q(L) = {S ® H½HT, T ® AT½HT½H½A, H ® a½b½c½…, A ® 0½1½2½…}
4. Tentukan gramar bebas
konteks untuk bahasa L(G) = {ab½n,m ³ 1, n ¹ m}
Jawab :
Langkah kunci : sulit untuk
mendefinisikan L(G) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat
bahwa x ¹ y berarti x > y atau x
< y.
L = L
È L
, L ={ab½n > m ³ 1}, L = {ab½1 £ n
< m}.
Q(L) = {A ® aA½aC, C ® aCb½ab}, Q(L) = {B ® Bb½Db, D® aDb½ab}
Q(L) = {S® A½B, A ® aA½aC, C ® aCb½ab, B ® Bb½Db, D® aDb½ab}
5. Tentukan sebuah gramar bebas
konteks untuk bahasa :
L = bilangan bulat non
negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka
nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.
Jawab :
Langkah kunci : Digit
terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga
himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol
(N), serta bilangan ganjil (J).
Q(L) = {S ® N½GA½JA, A ® N½NA½JA, G® 2½4½6½8, N® 0½2½4½6½8, J ® 1½3½5½7½9}
